P এবং Q বল দুটির লব্ধির মান R। Q কে দ্বিগুণ করলে যদি নতুন লব্ধি P বলের ক্রিয়া রেখার উপর লম্ব হয়, তাহলে-

ধরি, P এবং Q বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\) ।

লব্ধি R এর মান হবে,

\[R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos\alpha \quad \text{(1)}\]

প্রশ্নানুযায়ী, Q বলকে দ্বিগুণ করলে অর্থাৎ \(2Q\) হলে নতুন লব্ধি \(R'\) হবে \(P\) বলের ক্রিয়া রেখার উপর লম্ব।

ভেক্টর যোগের নিয়ম অনুযায়ী, নতুন লব্ধি \(\vec{R'} = \vec{P} + 2\vec{Q}\)

যেহেতু \(\vec{R'}\) এবং \(\vec{P}\) পরস্পর লম্ব, তাই তাদের ডট গুণফল শূন্য হবে।

\[\vec{R'} \cdot \vec{P} = 0\]

\[(\vec{P} + 2\vec{Q}) \cdot \vec{P} = 0\]

\[\vec{P} \cdot \vec{P} + 2\vec{Q} \cdot \vec{P} = 0\]

আমরা জানি, \(\vec{P} \cdot \vec{P} = P^2\) এবং \(\vec{Q} \cdot \vec{P} = QP \cos\alpha\)।

সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়,

\[P^2 + 2PQ \cos\alpha = 0\]

এখান থেকে \(\cos\alpha\) এর মান নির্ণয় করি। (যদি \(P \neq 0\) এবং \(Q \neq 0\) হয়)

\[2PQ \cos\alpha = -P^2\]

\[\cos\alpha = -\frac{P^2}{2PQ}\]

\[\cos\alpha = -\frac{P}{2Q} \quad \text{(2)}\]

এখন, \(\cos\alpha\) এর এই মানটি (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

\[R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \left(-\frac{P}{2Q}\right)\]

\[R^2 = P^2 + Q^2 - P^2\]

\[R^2 = Q^2\]

যেহেতু R এবং Q বলের মান নির্দেশ করে, তাই তারা ঋণাত্মক হতে পারে না। সুতরাং,

\[R = Q\]

উপরিউক্ত গাণিতিক বিশ্লেষণ অনুযায়ী, শর্ত পূরণ হলে লব্ধি R এর মান Q বলের মানের সমান হবে। প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে \(R=Q\) সরাসরি নেই। সুতরাং, প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।